Question

19．已知函數(shù)f（x）=2x-$\frac{x^2}{π}$+cosx，設(shè)x₁，x₂∈（0，π），x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），若x₁，x₀，x₂成等差數(shù)列，則（　　）

• A． f'（x₀）＞0
• B． f'（x₀）=0
• C． f'（x₀）＜0
• D． f'（x₀）的符號(hào)不能確定

Answer 1

分析 由題意和求導(dǎo)公式及法則求出f′（x）、f″（x），由余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷出f″（x）在（0，π）上遞增，求出f″（0）和f″（π）的值，判斷出f′（x）的單調(diào)性，求出f′（0）和f′（π）的值后，根據(jù)題意判斷出f（x）的單調(diào)性，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出x₀，結(jié)合f（x）單調(diào)性和f′（x）的符號(hào)得到答案．

解答 解：由題意得，f′（x）=$2-\frac{2x}{π}-sinx$，
∴f″（x）=$-\frac{2}{π}-cosx$在∈（0，π）上遞增，
又f″（0）=$-\frac{2}{π}-1＜0$，f″（π）=$-\frac{2}{π}+1＞0$，
∴f′（x）=$2-\frac{2x}{π}-sinx$在∈（0，π）上先減后增，
∵又f′（0）=2＞0，f′（π）=2-2=0，
且x₁，x₂∈（0，π），x₁≠x₂，f（x₁）=f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（0，π）上不單調(diào)，
∵x₁，x₀，x₂成等差數(shù)列，∴x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），
則f'（x₀）＜0，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，求導(dǎo)公式及法則，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用，考查化簡、變形能力，分析問題、解決問題的能力．