Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3，若（$\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow-3\overrightarrow{c}$）=0，則|$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|的最大值是$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角，求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的終點坐標，設$\overrightarrow{c}$的終點坐標為（x，y），利用向量垂直得出C的軌跡方程，轉化為平面幾何中的距離問題．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3，∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為45°．
設$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，O為坐標原點．則|$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|=|BC|．
設A（$\sqrt{2}$，0），B（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），設C（x，y），
則$\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}$=（x-2$\sqrt{2}$，y），2$\overrightarrow-3\overrightarrow{c}$=（3$\sqrt{2}$-3x，3$\sqrt{2}$-3y），
∵（$\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow-3\overrightarrow{c}$）=0，∴（x-2$\sqrt{2}$）（3$\sqrt{2}$-3x）+y（3$\sqrt{2}$-3y）=0，
整理得：x²+y²-3$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y+4=0，即（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1．
∴點C的軌跡為以M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）為圓心，以r=1為半徑的圓．
∴點B到圓心M的距離d=$\sqrt{2}$，
∴BC的最大距離為d+r=$\sqrt{2}+1$．即|$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|的最大值為$\sqrt{2}+1$．
故答案為$\sqrt{2}+1$．

點評 本題考查了平面向量運算的幾何意義，使用坐標法計算是常用解題方法．