Question

3．如圖，已知點(diǎn)P（0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），點(diǎn)A，B是單位圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，動(dòng)點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$，則關(guān)于|$\overrightarrow{OC}$|的說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． |$\overrightarrow{OC}$|隨點(diǎn)A，B位置的改變而變化，且最大值為$\frac{4}{3}$
• B． |$\overrightarrow{OC}$|隨點(diǎn)A，B位置的改變而變化，且最小值為$\frac{4}{3}$
• C． |$\overrightarrow{OC}$|是一個(gè)常數(shù)，且值為$\frac{4}{3}$
• D． 以上說(shuō)法都不對(duì)

Answer 1

分析 設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0得出兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系，求出$\overrightarrow{OC}$的坐標(biāo)，計(jì)算模長(zhǎng)觀察是否為常數(shù)．

解答 解：設(shè)A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），則$\overrightarrow{PA}$=（cosα，sinα-$\frac{\sqrt{2}}{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（cosβ，sinβ-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，∴cosαcosβ+（sinα-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）（sinβ-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）=0，即cosαcosβ+sinαsinβ-$\frac{\sqrt{2}}{3}$（sinα+sinβ）=-$\frac{2}{9}$．
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=（cosα+cosβ，sinα+sinβ-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）．
∴${\overrightarrow{OC}}^{2}$=（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）²=cos²α+cos²β+2cosαcosβ+sin²α+sin²β+2sinαsinβ-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（sinα+sinβ）+$\frac{2}{9}$
=2+2cosαcosβ+2sinαsinβ-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（sinα+sinβ）+$\frac{2}{9}$=2-$\frac{4}{9}$+$\frac{2}{9}$=$\frac{16}{9}$．
∴|$\overrightarrow{OC}$|=$\frac{4}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，模長(zhǎng)計(jì)算，屬于中檔題．