Question

2．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)k，使得$|{f（x）}|≤\frac{k}{2017}|x|$對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f（x）為“期望函數(shù)”，下列函數(shù)中“期望函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（　　）
①f（x）=x²②f（x）=xe^x③$f（x）=\frac{x}{{{x^2}-x+1}}$④$f（x）=\frac{x}{{{e^x}+1}}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)期望函數(shù)的定義對(duì)各個(gè)函數(shù)判斷即可．

解答 解：對(duì)于①：假設(shè)函數(shù)f（x）為“期望函數(shù)“，
則|f（x）|=x²≤$\frac{k}{2017}$|x|，
當(dāng)x=0時(shí)，k∈R，x≠0時(shí)，化為k≥2017|x|，
因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假設(shè)不正確，
即函數(shù)f（x）不是“期望函數(shù)”；
對(duì)于②：同理①可得②也不是“期望函數(shù)”；
對(duì)于③：假設(shè)函數(shù)f（x）為“期望函數(shù)“，
則|f（x）|=$\frac{|x|}{{x}^{2}-x+1}$≤$\frac{k}{2017}$|x|，
當(dāng)x=0時(shí)，k∈R，x≠0時(shí)，
化為k≥2017×$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{2017}{{（x-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}}$，
∴k≥$\frac{8064}{3}$
∴存在常數(shù)k＞0，使|f（x）|≤$\frac{k}{2017}$|x|對(duì)所有實(shí)數(shù)都成立，
∴③是“期望函數(shù)”；
對(duì)于④，假設(shè)函數(shù)f（x）為“期望函數(shù)“，
則|f（x）|=$\frac{|x|}{{e}^{x}+1}$≤$\frac{k}{2017}$|x|，
當(dāng)x=0時(shí)，k∈R，x≠0時(shí)，化為k≥2017×$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，k≥2017，
∴存在常數(shù)k＞0，使|f（x）|≤$\frac{k}{2017}$|x|對(duì)所有實(shí)數(shù)都成立，
∴④是“期望函數(shù)”；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義函數(shù)、分類討論方法、函數(shù)的單調(diào)性及其最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．