Question

4．已知函數(shù)$f（x）=lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1（a＞0）$
（1）設(shè)a＞1，試討論f（x）單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=x²-2bx+4，當(dāng)$a=\frac{1}{4}$時(shí)，任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到f（x₁）≥f（1）=-$\frac{1}{2}$，問題轉(zhuǎn)化為存在x₂∈[1，2]，使得$g（{x_2}）≤-\frac{1}{2}$，分離參數(shù)即得到$2b≥x+\frac{9}{2x}$在x∈[1，2]時(shí)有解，求出b的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{x^2}$=$\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}=\frac{（-x+1）（ax+（a-1））}{x^2}$，
令f'（x）=0，則x₁=1，${x_2}=\frac{1-a}{a}$（a＞1，x₂＜0）舍去．
令f'（x）＞0，則x＞1，令f'（x）＜0，則0＜x＜1，
所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)$a=\frac{1}{4}$時(shí)，
由（1）可知f'（x）=0的兩根分別為x₁=1，${x_2}=\frac{1-a}{a}=3$
令f'（x）＞0，則0＜x＜1或x＞3，令f'（x）＜0，則1＜x＜3
可知函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，
所以對(duì)任意的x₁∈（0，2），有$f（{x_1}）≥f（1）=ln1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2}$，
由條件知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以$g（{x_2}）≤-\frac{1}{2}$即存在x₂∈[1，2]，使得$g（{x_2}）≤-\frac{1}{2}$，
分離參數(shù)即得到$2b≥x+\frac{9}{2x}$在x∈[1，2]時(shí)有解，
由于$t=x+\frac{9}{2x}$（x∈[1，2]）為減函數(shù)，故其最小值為$\frac{17}{4}$，
從而$2b≥\frac{17}{4}$$b≥\frac{17}{8}$，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是$[\frac{17}{8}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．