Question

14．已知{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，且b₂=3，b₃=9，a₁=b₁，a₁₄=b₄．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=a_n+b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）等比數列{b_n}的公比為q，等差數列{a_n}的公差為d，由等差數列和等比數列的通項公式，即可得到首項和d，q，進而得到所求通項公式；
（Ⅱ）求得a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1，c_n=a_n+b_n=2n-1+3^n-1，運用數列的求和方法：分組求和，結合等差數列和等比數列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）等比數列{b_n}的公比q=$\frac{_{3}}{_{2}}$=$\frac{9}{3}$=3，
b₁=$\frac{_{2}}{q}$=$\frac{3}{3}$=1，
b₄=b₃q=9×3=27，
設等差數列{a_n}的公差為d，而a₁=1，a₁₄=27．
可得1+13d=27，即d=2，
即有a_n=1+2（n-1）=2n-1，n∈N*；
（Ⅱ）a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1，
c_n=a_n+b_n=2n-1+3^n-1，
前n項和S_n=（1+3+…+2n-1）+（1+3+…+3^n-1）
=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）+$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$
=n²+$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點評 本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的求和方法：分組求和，考查運算能力，屬于中檔題．