Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求證:,并給出等號(hào)成立的充要條件.

Answer 1

（1），；（2）當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.

試題分析：(1)已知 與 的關(guān)系式求出首項(xiàng)和通項(xiàng)，通常都是取特值和寫(xiě)一個(gè)遞推式相減即可.(2)由（1）得到，分析第1,2項(xiàng)可得后要證的問(wèn)題等價(jià)于本題是通過(guò)利用對(duì)稱(chēng)項(xiàng)的關(guān)系來(lái)證明的，該對(duì)稱(chēng)項(xiàng)是通過(guò)對(duì)的范圍的討論得到的. 通過(guò)累加后得到，然后不等式的兩邊同時(shí)加上即可得到答案.
試題解析：⑴ ………①,
當(dāng)時(shí)代入①,得,解得;
由①得,兩式相減得(),故,故為公比為2的等比數(shù)列,
故(對(duì)也滿足);
⑵當(dāng)或時(shí),顯然,等號(hào)成立.
設(shè),且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為:
 
即證:
當(dāng)時(shí),上面不等式的等號(hào)成立.
當(dāng)時(shí),與,()同為負(fù);
當(dāng)時(shí),   與,()同為正;
因此當(dāng)且時(shí),總有 ()()>0,即
,().
上面不等式對(duì)從1到求和得,;
由此得 ;
綜上,當(dāng)且時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.