Question

已知函數(shù)f（x）=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+

π

12

)．
（I）設x=x₀是函數(shù)y=f（x）的圖象上一條對稱軸，求g(

x

0

)的值；
（II）求使函數(shù)h(x)=f(

ωx

2

)+g(

ωx

2

)(ω＞0)在區(qū)間[-

2π

3

，

π

3

]上是增函數(shù)的ω的最大值．

Answer 1

分析：（I）先用二倍角公式對函數(shù)f（x）=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+

π

12

)進行化簡，而后求出函數(shù)y=f（x）的圖象上一條對稱軸，由于周期性函數(shù)對稱軸周期性出現(xiàn)故其表達形式中帶有參數(shù)，將對稱軸的表達式代入g(x)=cos2(x+

π

12

)的方程后要對參數(shù)的取值范圍進行討論，分類求值．
（II）將f（x）與g（x）的表達式代入化簡后得到h（x）=

1

2

sin(ωx+

π

3

)+

3

2

，下根據(jù)三角函數(shù)的性質得到關于ω的不等式，h（x）在區(qū)間[-

2π

3

，

π

3

]上是增函數(shù)，故[-

2π

3

，

π

3

]必是h（x）的遞增區(qū)間的一部分，即它的子集，由此可以得到關于參數(shù)的不等式．

解答：解：（I）f(x)=1+sinxcosx=1+

1

2

sin2x，g(x)=cos2(x+

π

12

)=

1

2

[1+cos(2x+

π

6

)]，（2分）
∵x=x₀是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，
∴2x0=kπ+

π

2

(k∈Z)，（4分）
∴g(x0)=cos2(x0+

π

12

)=

1

2

[1+cos(2x0+

π

6

)]=

1

2

[1+cos(kπ+

2π

3

)]
當k為偶數(shù)時，g(x0)=

1

4

；當k為奇數(shù)時，g(x0)=

3

4

.（6分）
（II）h(x)=

3

2

+

1

4

sinωx+

3

4

cosωx=

1

2

sin(ωx+

π

3

)+

3

2

（8分）
∵ω＞0，∴當x∈[-

2π

3

，

π

3

]時，ωx+

π

3

∈[-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]
∴[-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]⊆[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)，（10分）
∴

- 2ωπ 3 + π 3 ≥2kπ- π 2 ωπ 3 + π 3 ≤2kπ+ π 2

，即

ω≤-3k+ 5 4 ω≤6k+ 1 2

，
∵ω＞0，∴

-3k+ 5 4 ＞0 6k+ 1 2 ＞0

，-

1

12

＜k＜

5

12

，
∵k∈Z，∴k=0，∴ω≤

1

2

，ω的最大值是

1

2

（12分）

點評：本題考點是正弦函數(shù)單調性的應用，考查求正弦類函數(shù)的對稱軸方程，求三角函數(shù)值，以及利用三角函數(shù)的單調性將函數(shù)在某個區(qū)間上單調轉化為參數(shù)所滿足的不等式求參數(shù)，這里用到了轉化化歸的思想，本題綜合性強，難度較大，請做好題后總結．