Question

16．已知橢圓C；$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}$=1（0＜b＜4）的左右頂點分別為A、B，M為橢圓上的任意一點，A關(guān)于M的對稱點為P，如圖所示，
（1）若M的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，且點P在橢圓的右準(zhǔn)線上，求b的值；
（2）若以PM為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由中點坐標(biāo)公式，即可求得P的坐標(biāo)，由P在橢圓的右準(zhǔn)線上，代入$\frac{4}{{\sqrt{4-b}}}=3$，即可求得b的值；
（2）點M的坐標(biāo)為（x₁，y₁），由P關(guān)于M的對稱點為A，即可求得P坐標(biāo)，由題意可知：x₀x₁+y₀y₁=0，則以$\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}=1$，即$b=\frac{{{y_1}^2}}{{1-\frac{x_1^2}{4}}}=\frac{4y_1^2}{4-x_1^2}$，因此$b=4\frac{{x_1^2+{x_1}}}{x_1^2-4}=4[1+\frac{{{x_1}+4}}{x_1^2-4}]=4[1+\frac{{{x_1}+4}}{{{{（{x_1}+4）}^2}-8（{x_1}+4）+12}}]=4[1+\frac{1}{{（{x_1}+4）+\frac{12}{{{x_1}+4}}-8}}]$，由基本不等式的性質(zhì)及x₁的取值范圍，即可求得b的取值范圍．

解答 解：（1）∵M是AP的中點，${x_M}=\frac{1}{2}，{x_A}=-2$，
∴x_P=3…（2分）
∵P在橢圓的右準(zhǔn)線上，
∴$\frac{4}{{\sqrt{4-b}}}=3$，
解得：$b=\frac{20}{9}$．…（5分）
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），點M的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
又因為P關(guān)于M的對稱點為A，
所以$\frac{{{x_0}-2}}{2}={x_1}，\frac{y_0}{2}={y_1}$
即x₀=2x₁+2，y₀=2y₁…（7分）
∵PM為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，
∴OM⊥OP，
∴$\overrightarrow{OM}*\overrightarrow{OP}=0$，即x₀x₁+y₀y₁=0，…（9分）
所以（2x₁+2）x₁+2y₁y₁=0，即${y_1}^2=-x_1^2-{x_1}$

又因為點M在橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}=1（0＜b＜4）$上，
所以$\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}=1$，即$b=\frac{{{y_1}^2}}{{1-\frac{x_1^2}{4}}}=\frac{4y_1^2}{4-x_1^2}$，…（12分）
所以$b=4\frac{{x_1^2+{x_1}}}{x_1^2-4}=4[1+\frac{{{x_1}+4}}{x_1^2-4}]=4[1+\frac{{{x_1}+4}}{{{{（{x_1}+4）}^2}-8（{x_1}+4）+12}}]=4[1+\frac{1}{{（{x_1}+4）+\frac{12}{{{x_1}+4}}-8}}]$，
因為-2＜x₁＜2，
所以2＜x₁+4＜6，
所以$4\sqrt{3}≤{x_1}+4+\frac{12}{{{x_1}+4}}＜8$，…（14分）
所以$\frac{1}{{（{x_1}+4）+\frac{12}{{{x_1}+4}}-8}}≤\frac{1}{{4\sqrt{3}-8}}$，即$\frac{1}{{（{x_1}+4）+\frac{12}{{{x_1}+4}}-8}}∈（-∞，\frac{1}{{4\sqrt{3}-8}}]$
所以$b∈（-∞，4（1+\frac{1}{{4\sqrt{3}-8}}）]$，即$b∈（-∞，2-\sqrt{3}]$…（15分）
又因為0＜b＜4，
所以$b∈（0，2-\sqrt{3}]$…（16分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的性質(zhì)，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查基本不等式的綜合運用，考查計算能力，屬于難題．