Question

5．已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使PF₁=2PF₂，則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是（1，3]．

Answer 1

分析 可用三角形的兩邊和大于第三邊，及兩邊差小于第三邊，但要注意前者可以取到等號(hào)成立，因?yàn)榭梢匀�點(diǎn)一線(xiàn)．也可用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系．

解答 解：設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，則有$\left\{\begin{array}{l}{x=2y}\\{x-y=2a}\end{array}\right.$，
解得x=4a，y=2a，
∵在△PF₁F₂中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a-2a＜2c，
∴1$＜\frac{c}{a}$＜3，
又因?yàn)楫?dāng)三點(diǎn)一線(xiàn)時(shí)，4a+2a=2c，
綜合得離心率的范圍是（1，3]，
故答案為（1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了關(guān)于離心率范圍的確定．可以在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中總結(jié)常見(jiàn)的有關(guān)離心率的求法及范圍的求法．