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設a,b,c為任意三角形三邊長，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,試證：I2＜4S.

證明略
證明 由I2=（a+b+c）2
=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=a2+b2+c2+2S,
∵a,b,c為任意三角形三邊長，
∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,
∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)
即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0
∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0
∴a2+b2+c2＜2S
∴a2+b2+c2+2S＜4S.
∴I2＜4S.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

有下列幾個命題：①若
a
與
b
-
c
都是非零向量，則“
a
•
b
=
a
•
c
”是“
a
⊥(
b
-
c
)”的充要條件；②已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是
15
7
；③在平面直角坐標系xoy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點A（-2，0），B（6，8），C（8，6），則D點的坐標為（0，-1）；④設
a
，
b
，
c
為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足
a
與
b
不共線，
a
⊥
c
，|
a
|=|
c
|，則|
b
•
c
|的值一定等于以
a
，
b
為鄰邊的平行四邊形的面積．其中正確命題的序號是
 
．（寫出全部正確結論的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正（主）視圖和側（左）視圖如圖所示．設△ABC，△A′B′C′的中心分別是O，O′，現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO′旋轉，射線OA旋轉所成的角為x弧度（x可以取到任意一個實數），對應的俯視圖的面積為S（x），則函數S（x）的最大值為
8
8
；最小正周期為
π
3
π
3
．
說明：“三棱柱繞直線OO′旋轉”包括逆時針方向和順時針方向，逆時針方向旋轉時，OA旋轉所成的角為正角，順時針方向旋轉時，OA旋轉所成的角為負角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正視圖和側視圖如圖所示．設△ABC，△A′B′C′的中心分別是O、O′，現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO′旋轉（包括逆時針方向和順時針方向），射線OA旋轉所成的角為x弧度（x可以取到任意一個實數），對應的俯視圖的面積記為S（x），則函數S（x）的最大值和最小正周期分別是（　�。�

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省濟寧市高三11月月考理科數學 題型：選擇題

函數f (x)的定義域為D，若對于任意，當時，都有，則稱函數在D上為非減函數 .  設函數f (x)在[0，1]上為非減函數，且滿足以下三個條件：

①；② ；③，則等（　）

A.              B.                 C. 1                 D. 

 

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科目：高中數學 來源：湖南衡陽市2010-2011學年高三第二次月考（數學理） 題型：選擇題

函數f (x)的定義域為D，若對于任意，當時，都有，則稱函數在D上為非減函數. 設函數f (x)在[0，1]上為非減函數，且滿足以下三個條件：1；  2； 3.

則等于（    ）

A.                   B.                     C.  1                    D.

 

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