Question

10．已知$\overline{a}$=（1-cosx，2sin$\frac{x}{2}$），$\overline$=（1+cosx，-2cos$\frac{x}{2}$），設(shè)f（x）=2-sinx-$\frac{1}{4}$|$\overline{a}$-$\overline$|²．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若λ≤0，求函數(shù)h（x）=-sin²x-2sinx-λf（x）+1在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的最值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}^{2}$，即可求出f（x）的解析式；
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)h（x），利用換元法與分類討論法求出函數(shù)h（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的最值即可．

解答 解：（1）∵$\overline{a}$=（1-cosx，2sin$\frac{x}{2}$），$\overline$=（1+cosx，-2cos$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-2cosx2sin$\frac{x}{2}$+2cos$\frac{x}{2}$），
${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}^{2}$=4cos²x+4${（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}^{2}$=4cos²x+4（1+sinx），
∴f（x）=2-sinx-$\frac{1}{4}$|$\overline{a}$-$\overline$|²=2-sinx-$\frac{1}{4}$（4cos²x+4+4sinx）=sin²x-2sinx；
（2）函數(shù)h（x）=-sin²x-2sinx-λf（x）+1
=-sin²x-2sinx-λ（sin²x-2sinx）+1
=-（1+λ）sin²x-2（1-λ）sinx+1，
設(shè)sinx=t，則g（t）=-（1+λ）t²-2（1-λ）t+1，（-1≤t≤1）；
當(dāng)λ=-1時(shí)，g（t）=-4t+1在[-1，1]上是減函數(shù)；
當(dāng)λ＜-1時(shí)，-（1+λ）＞0，g（t）為開(kāi)口向上的拋物線，
其對(duì)稱軸方程為直線t=$\frac{λ-1}{λ+1}$=1-$\frac{2}{λ+1}$＞1，g（t）在[-1，1]上是減函數(shù)；
當(dāng)-1＜λ≤0時(shí)，-1＜-（1+λ）＜0，g（t）為開(kāi)口向下的拋物線，
其對(duì)稱軸方程為t=$\frac{λ-1}{λ+1}$=1-$\frac{2}{λ+1}$＜-1，g（t）在[-1，1]上是減函數(shù)；
綜上所述，當(dāng)λ≤0時(shí)g（t）在[-1，1]上是減函數(shù)，
所以y_max=g（-1）=2-3λ，y_min=g（1）=λ-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求解析式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題，是綜合性題目．