Question

2．已知函數f（x）=xln（x+1）+1．
（1）求y=f（x）在點（0，f（0））處的切線；
（2）已知函數g（x）=f（x）-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$-1，判斷函數y=g（x）在區(qū)間（-1，1）內的零點個數．

Answer 1

分析 （1）求導數，由此利用導數的幾何意義能求出y=f（x）在點（0，f（0））處的切線；
（2）令g（x）=0，f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1問題等價于y=f（x）與h（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1在（-1，1）內交點的個數，分別求出函數的最值，即可判斷函數y=g（x）在區(qū)間（-1，1）內的零點個數．

解答 解：（1）∵f（x）=xln（x+1）+1，
∴f′（x）=ln（x+1）+$\frac{x}{x+1}$，
∴f′（0）=0，
∵f（0）=1，
∴y=f（x）在點（0，f（0））處的切線為y=1；
（2）x∈（-1，0），f′（x）＜0，函數單調遞減，x∈（0，1），f′（x）＞0，函數單調遞增，
∴函數的最小值，即為極小值，為f（0）=1．
令g（x）=0，f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1問題等價于y=f（x）與h（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1在（-1，1）內交點的個數，
∵h′（x）=x（x-1），
∴x∈（-1，0），h′（x）＞0，函數單調遞增，x∈（0，1），h′（x）＜0，函數單調遞減，
∴函數h（x）的最大值，即為極大值h（0）=1，
由f（x）和h（x）的單調性知，函數y=g（x）在區(qū)間（-1，1）內的零點個數是1．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查函數的零點，考查學生分析解決問題的能力，正確運用導數是關鍵．