Question

【題目】已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為單調函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當時，試判斷方程是否有實數(shù)解，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）極小值為，無極大值

（2）或

（3）無實根，理由見解析

【解析】

（1）當時，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求函數(shù)的極值；

（2）函數(shù)在區(qū)間上為單調函數(shù)等價于或在區(qū)間上恒成立，再利用分離變量最值法即可得解；

（3）當時，可變形為，再左右分別構造函數(shù)求最值即可得解.

解：（1）當時，

，則，

當時，，時，，

即函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，

即函數(shù)的極小值為，無極大值；

（2）由函數(shù)，

則，

由函數(shù)在區(qū)間上為單調函數(shù)，

則或在區(qū)間上恒成立，

即或在區(qū)間上恒成立，

設，，則，

當時，，

即函數(shù)在為減函數(shù)，

則，

即或，

即或，

故的取值范圍為或；

（3）當時，方程沒有實數(shù)解

理由如下：

當時，，

則即為，

令，，

當時，，當時，，

即函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，

即，

即，

令，

則，

當時，，當時，，

即函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，

即，

則，

即無實數(shù)解，

故當時，方程沒有實數(shù)解.