Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）證明：對于正數(shù)，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有；

（3）設(shè)（1）中的的最大值為，求得最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明過程如解析；（2）對于正數(shù)，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有；（3）的最大值為

【解析】【試題分析】（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再對導(dǎo)函數(shù)的值的符號進(jìn)行分析，進(jìn)而做出判斷；（2）先求出函數(shù)值 ，進(jìn)而分和兩種情形進(jìn)行分析討論，推斷出存在使得，從而證得當(dāng)時(shí)，有成立；（3）借助（2）的結(jié)論在上有最小值為，然后分兩種情形探求的解析表達(dá)式和最大值。

證明：（1）由于 ，且，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）因?yàn)?/span> ，

當(dāng)時(shí)，取．此時(shí)，當(dāng)時(shí)，有成立．

當(dāng)時(shí)，由于，

故存在使得．

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，有成立．

綜上，對于正數(shù)，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有．

（3）由（2）知在上的最小值為．

當(dāng)時(shí)， ，則是方程滿足的實(shí)根，

即滿足的實(shí)根，

所以．

又在上單調(diào)遞增，故．

當(dāng)時(shí)， ，由于，

故．此時(shí)， ．

綜上所述， 的最大值為．