Question

設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)f（x）與g（x）的圖象交點(diǎn)A、B在x軸上的射影為A₁、B₁，求|A₁B₁|的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)x≤-

3

時(shí)，恒有f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，可得a＞0，c＜0，聯(lián)立方程y=f（x）=ax²+bx+c和y=g（x）=ax+b，并判斷△的符號(hào)，即可判斷出函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求出|A₁B₁|的取值范圍；
（3）不妨設(shè)x₁＞x₂，則由（2）中

3

2

＜x₁-x₂＜2

3

，及-2＜

c

a

＜-

1

2

，結(jié)合a＞b＞c，可得-

3

＜x₂≤0，又由a＞0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，當(dāng)x≤-

3

時(shí)，f（x）-g（x）＞0恒成立．

解答：證明：（1）由 y=f（x）=ax²+bx+c，y=g（x）=ax+b得
ax²+（b-a）x+（c-b）=0  （*）
△=（b-a）²-4a （c-b）
∵f（x）=ax²+bx+c，f（1）=0
∴f（1）=a+b+c=0 …（3分）
又a＞b＞c
∴3a＞a+b+c＞3c即a＞0，c＜0
∴b-a＜0，c-b＜0，a＞0
∴△=（b-a）²-4a（c-b）＞0
故函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；…（5分）
解：（2）設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
則x₁、x₂是方程（*）的兩根
故x₁+x₂=-

b-a

a

，
x₁x₂=

c-b

a

，
所以|A₁B₁|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( b-a a )2-4 c-b a

=

(b-a)2-4a(c-b)

a

又a+b+c=0，故b=-（a+c）
因而（b-a）²-4a（c-b）=（-2a-c）²-4a（a+2c）=c²-4ac
故|A₁B₁|=

c2-4ac

a

=

( c a )2-4( c a )

=

( c a -2)2-4

…（8分）
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞-（a+c）＞c
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

∴|A₁B₁|的取值范圍是（

3

2

，2

3

）…（10分）．
證明：（3）不妨設(shè)x₁＞x₂，則由（2）知：

3

2

＜x₁-x₂＜2

3

①
則x₁+x₂=-

c

a

=1-

b

a

由a＞b＞c得：

c

a

＜

b

a

＜1，
故0＜1-

b

a

＜1-

c

a

…（12分）
又-2＜

c

a

＜-

1

2

，
故

3

2

＜1-

c

a

＜3，
因而0＜1-

b

a

≤

3

2

即0＜x₁-x₂≤

3

2

②
由①、②得：-

3

＜x₂≤0，
即方程（*），也就是方程f（x）-g（x）=0的較小根的范圍是（-

3

，0]．
又a＞0，故當(dāng)x≤-

3

時(shí)，
f（x）-g（x）＞0恒成立，
即當(dāng)x≤-

3

時(shí)，恒有f（x）＞g（x） …（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及二次函數(shù)、二次不等式之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．