Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，其左準(zhǔn)線為l₀：x=-4，左頂點A，上頂點為B，且△BF₁F₂是等邊三角形
（1）求橢圓C的方程
（2）過F₁任意作一條直線l交橢圓C與M、N（均不是橢圓的頂點），設(shè)直線AM交l₀于P，直線AN交l₀于Q，試問判斷$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$是否為定值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的準(zhǔn)線方程x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-4，及a=2c，求得a和c，由b²=a²-c²=3，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l：y=k（x+1），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，P（-4，x_P），Q（-4，x_Q），由（-2，0），（x₁，y₁），P共線，解得：x_P=$\frac{-2{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，同理可得：x_Q=$\frac{-2{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，則$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=9+$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$，代入即可求得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=0．

解答 解：（1）由題意可知：左準(zhǔn)線x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-4，
由△BF₁F₂是等邊三角形，
∴a=2c，
解得：a=2，c=1，
由b²=a²-c²=3，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$是否為定值；
證明：由題意設(shè)直線l：y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8k²x-12=0，
則x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
設(shè)P（-4，x_P），Q（-4，x_Q），
（-2，0），（x₁，y₁），P共線，解得：x_P=$\frac{-2{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，同理可得：x_Q=$\frac{-2{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，
$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（-3，$\frac{-2{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（-3，$\frac{-2{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=9+$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=9+$\frac{4{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=9+4k²×$\frac{\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+1-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}{\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+4-\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$=9+4k²×$\frac{-9}{4{k}^{2}}$=0，
$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=0．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查計算能力，屬于中檔題．