Question

8．已知f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-f（0）+f'（1）{e^{x-1}}$，若$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x^2}+x$，則方程$g（\frac{x^2}{a}-x）-x=0$有且僅有一個(gè)根時(shí)，a的取值范圍是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，1]
• C． （0，1]
• D． （-∞，0）∪{1}

Answer 1

分析 求導(dǎo)，令x=1，即可求得f（0），當(dāng)x=0，代入f（x），即可求得f′（1），求得f（x）的解析式，由題意可知：由函數(shù)y₁=$\frac{{x}^{2}}{a}$與函數(shù)y₂=x+lnx圖象可得，方程有且只有一個(gè)根時(shí)，則a的取值范圍是a＜0或a=1．

解答 解：由$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-f（0）+f'（1）{e^{x-1}}$，求導(dǎo)f′（x）=x-f（0）+f′（1）e^x-1，
故f′（1）=x-f（0）+f′（1），則f（0）=1，
由f（0）=f′（1）e^-1=1，則f′（1）=e，
故f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+e^x，f′（x）=x-1+e^x，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+e^x-$\frac{1}{2}$x²+x=e^x，故方程$g（\frac{x^2}{a}-x）-x=0$，${e}^{\frac{{x}^{2}}{a}-x}$=x，
兩邊取對(duì)數(shù)可得$\frac{{x}^{2}}{a}$=x+lnx，由函數(shù)y₁=$\frac{{x}^{2}}{a}$與函數(shù)y₂=x+lnx圖象可得，方程有且只有一個(gè)根時(shí)，則a的取值范圍是a＜0或a=1，
當(dāng)a＞1a時(shí)無交點(diǎn)，0＜a＜1時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)．
故a的取值范圍（-∞，0）∪{1}，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)根的個(gè)數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．