Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，S₄=π（其中π為圓周率），a₄=2a₂，現(xiàn)從此數(shù)列的前30項(xiàng)中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則該元素的余弦值為負(fù)數(shù)的概率為（　　）

• A． $\frac{7}{15}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{8}{15}$
• D． $\frac{7}{30}$

Answer 1

分析 由等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和玖通項(xiàng)公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，從而得到${a}_{n}=\frac{π}{10}+（n-1）×\frac{π}{10}$=$\frac{nπ}{10}$，進(jìn)而前30項(xiàng)中，第6至14項(xiàng)和第26項(xiàng)至第30項(xiàng)的余弦值是負(fù)數(shù)，由此能求出現(xiàn)從此數(shù)列的前30項(xiàng)中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則該元素的余弦值為負(fù)數(shù)的概率．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，S₄=π（其中π為圓周率），a₄=2a₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{4}=4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=π}\\{{a}_{1}+3d=2（{a}_{1}+d）}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=d=\frac{π}{10}$，
∴${a}_{n}=\frac{π}{10}+（n-1）×\frac{π}{10}$=$\frac{nπ}{10}$，
∴前30項(xiàng)中，第6至14項(xiàng)和第26項(xiàng)至第30項(xiàng)的余弦值是負(fù)數(shù)，
∴現(xiàn)從此數(shù)列的前30項(xiàng)中隨機(jī)選取一個(gè)元素，
則該元素的余弦值為負(fù)數(shù)的概率為p=$\frac{14}{30}$=$\frac{7}{15}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．