(本小題滿分12分)如圖,在點(diǎn)上,過(guò)點(diǎn)做//將的位置(),
使得.
(I)求證: (II)試問(wèn):當(dāng)點(diǎn)上移動(dòng)時(shí),二面角的平面角的余弦值是否為定值?若是,求出定值,若不是,說(shuō)明理由.
(1)見解析;(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí),二面角的平面角的余弦值為定值.
解析試題分析:(1)在中,
又平面PEB.
又平面PEB,
(2)在平面PEB內(nèi),經(jīng)P點(diǎn)作PDBE于D,由(1)知EF面PEB,
EFPD.PD面BCEF.在面PEB內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作直線BH//PD,則BH面BCFE.以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)PE=x(0<x<4)又
在中,
從而
設(shè)是平面PCF的一個(gè)法向量,由
得取得
是平面PFC的一個(gè)法向量 又平面BCF的一個(gè)法向量為
設(shè)二面角的平面角為,則
因此當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí),二面角的平面角的余弦值為定值.
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的基本問(wèn)題,空間向量的應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng):本題通過(guò)考查直線與直線,直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)與方程思想等.屬中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1中點(diǎn).
(1)求證:C1D⊥AB1 ;
(2)當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時(shí),會(huì)使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,三棱柱中,平面,,,為的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)設(shè)的中點(diǎn)為,問(wèn):在矩形內(nèi)是否存在點(diǎn),使得平面.若存在,求出點(diǎn)的位置,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(12分)如圖所示,在三棱柱中,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).
(1)求證:.
(2)若三棱柱為直三棱柱,且各棱長(zhǎng)均為,求異面直線與所成的角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(14分)如右圖,簡(jiǎn)單組合體ABCDPE,其底面ABCD為邊長(zhǎng)為的正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC=.
(1)若N為線段PB的中點(diǎn),求證:EN//平面ABCD;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,四棱錐S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90 ,且BC=2AD=2,AB=4,SA=3.
(1)求證:平面SBC⊥平面SAB;
(2)若E、F分別為線段BC、SB上的一點(diǎn)(端點(diǎn)除外),滿足.()
①求證:對(duì)于任意的,恒有SC∥平面AEF;
②是否存在,使得△AEF為直角三角形,若存在,求出所有符合條件的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿分12分) 如圖,平面⊥平面,其中為矩形,為梯形,∥,⊥,==2=2,為中點(diǎn).
(Ⅰ) 證明;
(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值為,求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
本小題滿分14分)
如圖,在直三棱柱中,,,,點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)證明:平面平面;
(Ⅲ)求多面體A1B1C1BD的體積V.
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