Question

10．某商場(chǎng)欲經(jīng)銷某種商品，考慮到不同顧客的喜好，決定同時(shí)銷售A，B兩個(gè)品牌，根據(jù)生產(chǎn)廠家營(yíng)銷策略，結(jié)合本地區(qū)以往經(jīng)銷該商品的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，A品牌的銷售利潤(rùn)y₁與投入資金x成正比，其關(guān)系如圖所示，B品牌的銷售利潤(rùn)y₂與投入資金x的關(guān)系為y₂=$\frac{3}{4}\sqrt{x}$．
（1）求A品牌的銷售利潤(rùn)y₁與投入資金x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）該商場(chǎng)計(jì)劃投入5萬元經(jīng)銷該種商品中，并全部投入A，B兩個(gè)品牌，問：怎樣分配這5萬元資金，才能使經(jīng)銷該種商品獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)為多少萬元？

Answer 1

分析 （1）設(shè)y₁=k₁x（x＞0），代入點(diǎn)（2，0.5），解方程即可得到所求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)總利潤(rùn)為y，投入B品牌為x萬元，則投入A品牌為（5-x）萬元，則$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}$（0＜x＜5），求導(dǎo)數(shù)，可得y的最大值．

解答 解：（1）設(shè)y₁=k₁x（x＞0），因?yàn)閳D象過點(diǎn)（2，0.5），所以${k_1}=\frac{1}{4}$
所以${y_1}=\frac{1}{4}x$（x＞0）
（1）設(shè)總得潤(rùn)為y萬元，投入B品牌為x萬元．則投入A品牌為（5-x）萬元．
所以$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}$（0＜x＜5）
則$y'=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{x^{-\frac{1}{2}}}$
令$y'=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{x^{-\frac{1}{2}}}$=0
得$x=\frac{9}{4}$
當(dāng)$x∈（0，\frac{9}{4}）$時(shí)，$y'=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{x^{-\frac{1}{2}}}＞0$，所以$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}$在$（0，\frac{9}{4}）$遞增，
當(dāng)$x∈（\frac{9}{4}，5）$時(shí)，$y'=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{x^{-\frac{1}{2}}}＜0$，所以$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}$在$（\frac{9}{4}，5）$遞減．
所以當(dāng)$x=\frac{9}{4}$時(shí)，${y_{max}}=\frac{29}{16}$（萬元）
答：投入投入B品牌為$\frac{9}{4}$萬元．投入A品牌為$\frac{11}{4}$萬元，經(jīng)銷該種商品獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為$\frac{29}{16}$萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．