Question

1．已知函數(shù)f（x），g（x）是定義在R上的一個(gè)奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f（x-1）+g（x-1）=2^x，則函數(shù)f（x）=2^x-2^-x．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由于f（x-1）+g（x-1）=2^x，則f（x）+g（x）=2^x+1，同理可得f（-x）+g（-x）=2^-x+1，利用函數(shù)的奇偶性可得-f（x）+g（x）=2^-x+1，②，聯(lián)立①②可得f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+1-2^-x+1），對(duì)其變形可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，f（x-1）+g（x-1）=2^x，則f（x）+g（x）=2^x+1，①，
進(jìn)而有f（-x）+g（-x）=2^-x+1，
又由函數(shù)f（x），g（x）是定義在R上的一個(gè)奇函數(shù)和偶函數(shù)，
則有f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x），
即有-f（x）+g（x）=2^-x+1，②，
聯(lián)立①②可得：f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+1-2^-x+1）=2^x-2^-x，
即f（x）=2^x-2^-x，
故答案為：2^x-2^-x

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及函數(shù)解析式的求法，注意先求出f（x）+g（x）的解析式．