Question

13．已知函數(shù)f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n為奇數(shù)}\\{f（\frac{n}{2}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，若b_n=f（2ⁿ+4），n∈N^*，則數(shù)列{b_n}的前n（n≥3）項和S_n等于2ⁿ+n．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n為奇數(shù)}\\{f（\frac{n}{2}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，b_n=f（2ⁿ+4），可得b_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2^n-1+1，b₁=f（6）=f（3）=5，b₂=f（8）=f（2）=f（1）=1．利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：由函數(shù)f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n為奇數(shù)}\\{f（\frac{n}{2}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，b_n=f（2ⁿ+4），
可得b_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2^n-1+1，
b₁=f（6）=f（3）=5，b₂=f（8）=f（2）=f（1）=1．
∴數(shù)列{b_n}的前n（n≥3）項和S_n=5+1+2²+2³+…+2^n-1+n-2=4+$\frac{4（{2}^{n-2}-1）}{2-1}$+n=2ⁿ+n．
故答案為：2ⁿ+n．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、分類討論方法考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．