Question

【題目】已知函數(shù)，的最大值為.

（1）求的值；

（2）試推斷方程是否有實數(shù)解？若有實數(shù)解，請求出它的解集.

Answer 1

【答案】（1）；（2）無實數(shù)解

【解析】

（1）由題意，對函數(shù)f（x）=-x+lnx求導(dǎo)數(shù)，研究出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，判斷出最大值，即可求出；

（2）由于函數(shù)的定義域是正實數(shù)集，故方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x可變?yōu)?/span>，再分別研究方程兩邊對應(yīng)函數(shù)的值域，即可作出判斷．

(1)已知函數(shù)，則，

可得，

令，x=1，

當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0;當(dāng)x>1時,f′(x)<0.

∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù)，

∴；

(2)|2x(xlnx)|=2lnx+x可得，

由(1)知f(x)max=f(1)=1，即x+lnx≤1，

∴|xlnx|≥1，

又令,，

令g′(x)>0,得0<x<e;令g′(x)<0，得x>e，

∴g(x)的增區(qū)間為(0,e),減區(qū)間為(e,+∞)，

∴,∴g(x)<1，

∴|xlnx|>g(x),即恒成立，

∴方程即方程|2x(xlnx)|=2lnx+x沒有實數(shù)解.