Question

如圖，在正四棱錐S-ABCD中，AB=8

2

，SA=10，M、N、O分別是SA、SB、BD的中點(diǎn)．
（1）設(shè)P是OC的中點(diǎn)，證明：PN∥平面BMD；
（2）求直線(xiàn)SO與平面BMD所成角的大��；
（3）在△ABC內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使NG⊥平面BMD，若存在，求線(xiàn)段NG的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)題意求出平面BMD的法向量

n

，因?yàn)?span id="bjik9rv" class="MathJye">

PN

•

n

=0，進(jìn)而得到線(xiàn)面平行．
（2）由（1）可得平面BMD的法向量，再求出直線(xiàn)OS所在的向量，利用向量之間的運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面角．
（3）若存在點(diǎn)G，設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁，0），結(jié)合題意可得：

n

∥

NG

，即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，再檢驗(yàn)點(diǎn)G的坐標(biāo)滿(mǎn)足題意，進(jìn)而求出NG的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別為OB、OC、OS所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則O(0，0，0)，A(0，-8，0)，B(8，0，0)，P(0，4，0)， S(0，0，6)，M(0，-4，3)，N(4，0，3) OM =(0，-4，3)， OB =(8，0，0，)， 設(shè)平面BMD的一個(gè)法向量為 n =(x，y，z) 則 n • OM =0 n • OB =0 即 -4y+3z=0 8x=0 令y=3得 n =(0，3，4)

又因?yàn)?span id="un5imuz" class="MathJye">

PN

=(4，-4，3)，
所以

PN

•

n

=0，
又∵直線(xiàn)PN不在平面BMD內(nèi)
∴PN∥平面BMD．   …（4分）
（2）設(shè)直線(xiàn)SO與平面BMD所成角為θ，
所以sinθ=

| OS • N |

| OS || n |

=

24

6×5

=

4

5

，
∵θ∈(0，

π

2

)∴θ=arcsin

4

5

．…（8分）
（3）若存在點(diǎn)G，設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁，0），

則 NG =(x1-4，y1，-3) ∵NG⊥平面BMD∴ NG ∥ n 由此得x1=4，y1=- 9 4

所以點(diǎn)G坐標(biāo)為(4，-

9

4

，0)…（10分）
在平面直角坐標(biāo)系xoy中，△ABC的內(nèi)部區(qū)域可表示不等式組：

x＞0 x+y＜8 x-y＞8

，
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)G的坐標(biāo)滿(mǎn)足上述不等式組．

又 NG =(0，- 9 4 ，-3) ∴| NG |= (- 9 4 )2+(-3)2 = 15 4

故在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)G，使NG⊥平面BMD，且NG=

15

4

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面所成的角，直線(xiàn)與平面平行的判定以及直線(xiàn)與平面垂直的判定，夾角此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握直線(xiàn)與平面夾角的定義，及空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面垂直關(guān)系之間的互相轉(zhuǎn)化，或者建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．