Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，它具有奇偶性，且f（2+x）=f（2-x），則f（x）的最小正周期是

 

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Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)的周期性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由f（2+x）=f（2-x），將x換成x+2，得f（x+4）=f（-x），討論f（x）為奇函數(shù)，或偶函數(shù)，由奇偶性的定義，結(jié)合周期性的定義，即可得到f（x）的最小正周期．

解答： 解：∵f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），
∴將x換成x+2，得f（x+4）=f[2-（2+x）]=f（-x），
①若f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
則f（-x）=f（x），即有f（x+4）=f（x），
則f（x）的最小正周期為4；
②若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），即有f（x+4）=-f（x），
將x換成x+4，則f（x+8）=-f（x+4），
即有f（x+8）=f（x），
則f（x）的最小正周期為8．
故答案為：4或8．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的奇偶性和周期性及應用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．