Question

如圖，AB表示一座塑像，OB是塑像底座，塑像及其底座所在直線與地面垂直，已知AB=9m，OB=3m．
（1）請用∠ACO與∠BCO的正切表示∠ACB的正切；
（2）在地面OD上求一點C，使C對塑像AB的視角∠ACB最大，這時OC長多少？

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數

專題：三角函數的求值

分析：（1）由圖得∠ACB=∠ACO-∠BCO，代入兩角差的正切公式即可；
（2）設OC=x米，∠ACB=θ，求出x和θ的范圍，利用（1）的結論和正切函數的定義表示出tan∠ACB，即tanθ，
化簡后利用基本不等式求出最大值和此時的x，根據正切函數的單調性值此時θ也最大．

解答： 解：（1）由圖得，∠ACB=∠ACO-∠BCO，
則tan∠ACB=tan(∠ACO-∠BCO)=

tan∠ACO-tan∠BCO

1+tan∠ACO•tan∠BCO

…（3分）
（2）設OC=x米，x＞0，∠ACB=θ，且θ∈（0，

π

2

），
如圖，tan∠ACD=

AO

CO

=

12

x

，tan∠BCD=

BO

CO

=

3

x

，（5分）
則tan∠ACB=tanθ=

12 x - 3 x

1+ 12 x × 3 x

=

9 x

1+ 36 x2

=

9

x+ 36 x

≤

9

2 x• 36 x

=

9

2 36

=

3

4

，
當且僅當x=

36

x

時，即x=6時取等號，（8分）
∵θ∈（0，

π

2

），且y=tanθ是增函數，∴x=6時，tanθ最大，θ也最大，
答：當CO=6米時，C對塑像AB的視角∠ACB最大．（10分）

點評：本題考查兩角差的正切函數，正切函數的定義、單調性的實際應用，把角最大的問題轉化為角的正切值最大，考查轉化思想．