Question

2．若函數(shù)f（x）=log₂（3^x+1）+$\frac{a}{lo{g}_{2}（{3}^{x}+1）}$在[1，+∞）上無零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-4，2）
• B． （-2，4）
• C． （0，+∞）
• D． （-4，+∞）

Answer 1

分析 利用換元法，t=log₂（3^x+1），則t≥2，則f（t）=t+$\frac{a}{t}$在[2，+∞）上無零點，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的最值得到a的取值范圍．

解答 解：∵x∈[1，+∞），
∴3^x+1≥4，
∴l(xiāng)og₂（3^x+1）≥2，
設(shè)t=log₂（3^x+1），則t≥2，
∵f（x）=log₂（3^x+1）+$\frac{a}{lo{g}_{2}（{3}^{x}+1）}$在[1，+∞）上無零點
∴f（t）=t+$\frac{a}{t}$在[2，+∞）上無零點，
∴f′（t）=1-$\frac{a}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-a}{{t}^{2}}$，
當(dāng)a≤0時，f′（t）＞0恒成立，
∴f（t）為增函數(shù)，
∴f（2）＞0，
即2+$\frac{a}{2}$＞0，
解得a＞4，
當(dāng)a＞0時，f（t）=t+$\frac{a}{t}$＞0在[2，+∞）恒成立，
故函數(shù)f（t）=t+$\frac{a}{t}$在[2，+∞）上無零點，
綜上所述，f（t）=t+$\frac{a}{t}$在[2，+∞）上無零點，則a的范圍為（-4，+∞），
故函數(shù)f（x）=log₂（3^x+1）+$\frac{a}{lo{g}_{2}（{3}^{x}+1）}$在[1，+∞）上無零點，則實數(shù)a的取值范圍是（-4，+∞），
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)零點的問題，以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值得問題，關(guān)鍵是換元，屬于中檔題．