Question

10．已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸，離心率e=$\frac{1}{2}$，短軸長為2$\sqrt{5}$，直線y=x+m與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（1）求橢圓的方程； 
（2）求m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，可得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，可得x的方程，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理和弦長公式，解方程即可得到m的值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，2b=2$\sqrt{5}$，a²-b²=c²，
解得a=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，b=$\sqrt{5}$，
即有橢圓的方程為$\frac{3{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（2）將直線y=x+m代入橢圓方程可得，
7x²+8mx+4m²-20=0，
判別式為64m²-28（4m²-20）＞0，即為m²＜$\frac{35}{3}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{8m}{7}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-20}{7}$，
弦長|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8}{7}m）^{2}-\frac{16{m}^{2}-80}{7}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
解得m=±$\frac{\sqrt{9030}}{30}$，檢驗(yàn)判別式大于0，成立．
則m=±$\frac{\sqrt{9030}}{30}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式，考查弦長的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．