Question

已知點(diǎn)P（-3，0），點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸非負(fù)半軸上，點(diǎn)M在直線AQ上，滿足·=0，=-.

（1）當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動時，求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（2）設(shè)軌跡C的準(zhǔn)線為l,焦點(diǎn)為F，過F作直線m交軌跡C于G，H兩點(diǎn)，過點(diǎn)G作平行于軌跡C的對稱軸的直線n,且n∩l=E，試問點(diǎn)E，O，H（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是否在同一條直線上？并說明理由.

Answer 1

（1）M點(diǎn)的軌跡方程為y²=4x，（2）O，E，H三點(diǎn)共線

解析:

（1）設(shè)M（x,y）為軌跡上任意一點(diǎn)，

A（0,b）,Q(a,0)(a≥0),

則=（x,y-b），=(a-x,-y),

∵=-，

∴（x，y-b）=-（a-x，-y），

∴，從而.

∴A，且=, =.

∵·=0，

∴·=0，即3x-y²=0,

∴y²=4x,故M點(diǎn)的軌跡方程為y²=4x.

(2)軌跡C的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l:x=-1,對稱軸為x軸.設(shè)直線m的方程為y=k(x-1)(k≠0),

由ky²-4y-4k=0,

設(shè)G（x₁,y₁）,H(x₂,y₂),

則由根與系數(shù)的關(guān)系得，y₁y₂=-4,

又由已知=（-1，y₁),=,

∴(-1)×y₂-y₁×=-y₂-·y₂=-y₂+y₂=0,

∴∥,故O，E，H三點(diǎn)共線.