已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,離心率為
2
2
,以線段F1F2為直徑的圓的面積為π,設(shè)直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2(l不垂直坐標(biāo)軸),且與橢圓交于A、B兩點(diǎn),
(1)求橢圓的方程;
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M(m,0),試求m的取值范圍;
(3)求△ABF1面積的取值范圍.
(1)由離心率為
2
2
得:
c
a
=
2
2

又由線段F1F2為直徑的圓的面積為π得:πc2=π,c2=1②
由①,②解得a=
2
,c=1,∴b2=1,
∴橢圓方程為
x2
2
+y2=1

(2)由題意,F(xiàn)2(1,0),設(shè)l的方程為:y=k(x-1)(k≠0),代入橢圓方程
整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)為(x0,y0),則
x0=
2k2
2k2+1
,y0=k(x0-1)=-
2k
2k2+1

∴線段AB的垂直平分線方程為y-y0=-
1
k
(x-x0
令y=0,得m=x0+ky0=
k2
2k2+1
=
1
2+
1
k2

由于
1
k2
>0即2+
1
k2
>2,
∴0<m<
1
2
;
(3)由(2)知,x1+x2=
4k2
2k2+1
,x1x2=
2k2-2
2k2+1

∴|x1-x2|=
2
2k2+2
2k2+1

∴|y1-y2|=
2|k|
2k2+2
2k2+1

∴S△ABF1=
1
2
×2
×|y1-y2|=
2|k|
2k2+2
2k2+1

設(shè)2k2+1=t,則t>1,∴S△ABF1=
2
×
1-
1
t2

∵t>1,∴0<
1
t2
<1,∴0<S△ABF1
2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,且準(zhǔn)線方程為x=-1.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)拋物線C焦點(diǎn)的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),如果要同時(shí)滿足:①|(zhì)AB|≤8;②直線l與橢圓3x2+2y2=2有公共點(diǎn),試確定直線l傾斜角的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知圓G:x2+y2-2x-
2
y=0,經(jīng)過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B,過(guò)圓外一點(diǎn)(m,0)(m>a)傾斜角為
6
的直線l交橢圓于C,D兩點(diǎn),
(1)求橢圓的方程;
(2)若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知拋物線y=x2上有一條長(zhǎng)為2的動(dòng)弦AB,則AB中點(diǎn)M到x軸的最短距離為_(kāi)_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C與雙曲線
x2
2
-
y2
6
=1
有相同焦點(diǎn)F1和F2,過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),△ABF2的周長(zhǎng)為8
3
.若直線y=t(t>0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E、F,以線段EF為直徑作圓M.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓M與x軸相切,求圓M被直線x-
3
y+1=0
截得的線段長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知離心率為
3
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>o)過(guò)點(diǎn)M(2,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),平行于OM的直線l交橢圓于C不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓的C方程.
(2)證明:若直線MA,MB的斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2=0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn),|
F1F2
|=2
,離心率e=
1
2
,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l的傾斜角為
π
4
,求線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)a、b是非零實(shí)數(shù),則方程bx2+ay2=ab及ax+by=0所表示的圖形可能是( 。
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)雙曲線方程
x2
a2
-
y2
b2
=1(b>a>0)
的半焦距為c,直線l過(guò)(a,0),(0,b)兩點(diǎn),已知原點(diǎn)到直線l的距離為
3
4
c

(1)求雙曲線的離心率;
(2)經(jīng)過(guò)該雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為2的直線m被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為15,求雙曲線的方程.

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