已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點,|
F1F2
|=2
,離心率e=
1
2
,過橢圓右焦點F2的直線l與橢圓C交于M,N兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l的傾斜角為
π
4
,求線段MN中點的坐標.
(1)∵2c=|
F1F2
|=2
,∴c=1,
又由e=
c
a
=
1
2
,得a=2,∴b2=22-12=3,
∴橢圓的標準方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)∵F2(1,0),kl=tan
π
4
=1

∴直線l:y=x-1,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
線段MN的中點為G(x0,y0).
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1

得7x2-8x-8=0,
x1+x2=
8
7
,
x0=
x1+x2
2
=
4
7
,y0=x0-1=-
3
7
,
故線段MN的中點為(
4
7
,-
3
7
)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的長軸長是短軸長的兩倍,且過點A(2,1).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若直線l:x-1-y=0與橢圓C交于不同的兩點M,N,求|MN|的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
3
x且過點M(
6
,1).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m,(m≠0)與雙曲線C相交于A,B兩點,D(0,-1)且有|AD|=|BD|,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦點為F1,F(xiàn)2,離心率為
2
2
,以線段F1F2為直徑的圓的面積為π,設(shè)直線l過橢圓的右焦點F2(l不垂直坐標軸),且與橢圓交于A、B兩點,
(1)求橢圓的方程;
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點M(m,0),試求m的取值范圍;
(3)求△ABF1面積的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,焦距為2c;若以F2為圓心,b-c為半徑作圓F2,過橢圓上任一點P(x0,y0)作此圓的切線,切點為T,且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c).
(Ⅰ)證明:|PF2|的最小值為a-c;
(Ⅱ)求橢圓的離心率e的取值范圍;
(Ⅲ)若橢圓的短半軸長為1,圓F2與x軸的右交點為Q,過點Q作斜率為2的直線l與橢圓交于A、B兩點,若OA⊥OB,求橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(-
2
,0)
,(
2
,0)
,離心率是
6
3
,直線y=t橢圓C交與不同的兩點M,N,以線段為直徑作圓P,圓心為P.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標;
(Ⅲ)設(shè)Q(x,y)是圓P上的動點,當T變化時,求y的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知平面內(nèi)一點P與兩個定點F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
的距離的差的絕對值為2.
(Ⅰ)求點P的軌跡方程C;
(Ⅱ)設(shè)過(0,-2)的直線l與曲線C交于A,B兩點,且OA⊥OB(O為坐標原點),求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

橢圓
x2
45
+
y2
20
=1
的焦點分別為F1和F2,過原點O作直線與橢圓相交于A,B兩點.若△ABF2的面積是20,則直線AB的方程是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右頂點分別為A(-
2
,0)、B(
2
,0),離心率e=
2
2
.過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸,垂足為Q,點C在QP的延長線上,且|PC|=(
2
-1)|PQ|.
(1)求橢圓的方程;
(2)求動點C的軌跡E的方程;
(3)設(shè)直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點,且|MN|=
8
2
7
,求直線MN的方程.

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同步練習(xí)冊答案