Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|，
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞2時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）設(shè)a≠0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m，n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）將a=2代入函數(shù)的解析得出f（x）=x|x-2|，將其變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)研究其單調(diào)性即可；
（Ⅱ）當(dāng)a＞2時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上解析式是確定的，去掉絕對值號后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其單調(diào)性，再求最值；
（Ⅲ）a≠0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值說明在函數(shù)最值不在區(qū)間端點處取得，在這個區(qū)間內(nèi)必有兩個極值，由函數(shù)的性質(zhì)確定出極值，由于極值即為最值，故可借助函數(shù)的圖象得m、n的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=x|x-2|=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]，[2，+∞）；
（Ⅱ）由a＞2，x∈[1，2]時，則f（x）=x（a-x）=-x²+ax=-（x-

a

2

）²+

a2

4

當(dāng)1＜

a

2

≤

3

2

，即2＜a≤3時，f（x）_min=f（2）=2a-4，
當(dāng)

a

2

＞

3

2

，即a＞3時，f（x）_min=f（1）=a-1，
∴f（x）_min=

2a-4，2＜a≤3 a-1，a＞3

；
（Ⅲ）f（x）=

x(x-a)，x≥a x(a-x)，x＜a

，

①當(dāng)a＞0時，圖象如上圖左所示
由

y= a2 4 y=x(x-a)

得x=

( 2 +1)

2

a，
∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

( 2 +1)

2

a，
②當(dāng)a＜0時，圖象如上圖右所示
由

y=- a2 4 y=x(a-x)

得x=

(1+ 2 )

2

a，
∴

1+ 2

2

a≤m＜a，

a

2

＜n≤0．

點評：本題考點是函數(shù)的最值及其幾何意義，綜合考查了二次函數(shù)的圖象，最值等知識以及配方法求最值的技巧．解題時數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化靈活，綜合性很強．