Question

下列命題中，錯(cuò)誤的是（　�。�

• A、在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要條件
• B、在銳角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
• C、在△ABC中，若acosA=bcosB，則△ABC必是等腰直角三角形
• D、在△ABC中，若B=60°，b²=ac，則△ABC必是等邊三角形

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：A．在△ABC中，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinA＞sinB?a＞b?A＞B，即可判斷出正誤；
B．在銳角△ABC中，由

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，可得sinA＞sin(

π

2

-B)=cosB，即可判斷出正誤；
C．在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，得到2A=2B或2A=2π-2B即可判斷出正誤；
D．在△ABC中，利用余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，代入已知可得a=c，又B=60°，即可得到△ABC的形狀，即可判斷出正誤．

解答： 解：A．在△ABC中，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，∴sinA＞sinB?a＞b?A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要條件，正確；
B．在銳角△ABC中，A，B∈(0，

π

2

)，∵A+B＞

π

2

，∴

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，∴sinA＞sin(

π

2

-B)=cosB，因此不等式sinA＞cosB恒成立，正確；
C．在△ABC中，∵acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A=2π-2B，∴A=B或A+B=

π

2

，因此
△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題；
D．在△ABC中，若B=60°，b²=ac，由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，∴ac=a²+c²-ac，即（a-c）²=0，解得a=c，又B=60°，
∴△ABC必是等邊三角形，正確．
綜上可得：C是假命題．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理余弦定理解三角形、三角函數(shù)的單調(diào)性、誘導(dǎo)公式、簡(jiǎn)易邏輯的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．