Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，an=

2 a 2 n-1 +1

(n≥2，n∈N*)．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）根據(jù)（1）猜想到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)遞推關(guān)系an=

2 a 2 n-1 +1

(n≥2，n∈N*)，分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）根據(jù)（1）猜想an=

2n-1

(n∈N*)，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，證明的關(guān)鍵時(shí)式子是ak+1=

2 a 2 k +1

=

2(2k-1)+1

=

2k+1-1

．

解答：解：（1）由a₁=1，an=

2 a 2 n-1 +1

(n≥2，n∈N*)
可求得：a₁=1，a2=

3

，a3=

7

，a4=

15

，a5=

31

…（4分）
（2）根據(jù)（1）猜想an=

2n-1

(n∈N*)數(shù)學(xué)歸納法證明如下：…（5分）
（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=

22-1

=1結(jié)論顯然成立    …（7分）
（Ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak=

2k-1

…（9分）
則：n=k+1時(shí)，ak+1=

2 a 2 k +1

=

2(2k-1)+1

=

2k+1-1

這表明 n=k+1時(shí)結(jié)論成立       …（12分）
綜上  由（Ⅰ）（Ⅱ）可知對(duì)一切n∈N^*都有an=

2n-1

(n∈N*)成立 …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，同時(shí)考查了計(jì)算化簡能力，屬于中檔題．