Question

20．已知函數(shù)$f（x）={log_a}^{（3-ax）}$
（1）若f（x）的圖象經(jīng)過點（4，1），求a的值
（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的圖象經(jīng)過的點，代入方程求解即可．
（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出a，然后判斷函數(shù)的定義域是否有意義，即可解答本題．

解答 解：（1）依題意知$f（4）={log_a}^{（3-4a）}=1$，
∴3-4a=a，
∴$a=\frac{3}{5}$…（4分）
（2）假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，則由題設(shè)知f（1）=1=${log_a}^{（3-a）}$，
∴$a=\frac{3}{2}$，此時$f（x）={log_a}^{（3-\frac{3}{2}x）}$，
但x=2時，$f（x）={log_{\frac{3}{2}}}^0$無意義，
故這樣的實數(shù)a不存在．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的解析式的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．