Question

已知2^x≤16且log2x≥

1

2

，求函數(shù)f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

的取值范圍．

Answer 1

分析：由2^x≤16，可得x≤4，于是得到

1

2

≤log2x≤2．利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得；f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

=（log₂x-1）（log₂x-2）=(log2x)2-3log2x+2=(log2x-

3

2

)2-

1

4

．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：由2^x≤16，解得x≤4，∴l(xiāng)og₂x≤2．
又由log₂x≥

1

2

，∴

1

2

≤log2x≤2．
由f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

=（log₂x-1）（log₂x-2）
=(log2x)2-3log2x+2
=(log2x-

3

2

)2-

1

4

．
∴當(dāng)log2x=

3

2

，f(x)min=-

1

4

；
又當(dāng)log2x=

1

2

，f（x）=

3

4

；當(dāng)log₂x=2時(shí)，f（x）=0．
∴當(dāng)log2x=

1

2

時(shí)，f(x)max=

3

4

．
故f（x）的取值范圍為[-

1

4

，

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及其單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．