已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
1
2
，點(diǎn)P、A、B在該橢圓上，且P坐標(biāo)為（2，3），線段AB的中點(diǎn)T在直線OP上，且A、O、B三點(diǎn)不共線．
（1）求橢圓方程；
（2）求直線AB的斜率；
（3）求△PAB面積的最大值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），由離心率為
1
2
，點(diǎn)P（2，3）在該橢圓上，可得
c
a
=
1
2
4
a2
+
9
b2
=1
a2=b2+c2
，解得即可．
（2）直線OP的方程為：y=
3
2
x，可設(shè)T（2m，3m）（m≠0）．直線AB的斜率為k，A（x1，y1），B（x2，y2）．由于A、B在該橢圓上，可得
x
2
1
16
+
y
2
1
12
=1，
x
2
2
16
+
y
2
2
12
=1，兩式相減并把
y1-y2
x1-x2
=k，x1+x2=4m，y1+y2=6m代入即可得出．
（3）設(shè)直線AB的方程為：y=-
1
2
x+t，聯(lián)立
y=-
1
2
x+t
x2
16
+
y2
12
=1
，化為x2-tx+t2-12=0，由△＞0，解得-4＜t＜4．利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計算公式可得S△PAB=
1
2
|AB|•d═
3
2
-t4+8t3-128t+256
．設(shè)f（t）=-t4+8t3-128t+256（-4＜t＜4），再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
∵離心率為
1
2
，點(diǎn)P（2，3）在該橢圓上，
∴
c
a
=
1
2
4
a2
+
9
b2
=1
a2=b2+c2
，解得a2=16，b2=12，c=2．
∴橢圓的方程為
x2
16
+
y2
12
=1．
（2）直線OP的方程為：y=
3
2
x，可設(shè)T（2m，3m）（m≠0）．
直線AB的斜率為k，A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵A、B在該橢圓上，∴
x
2
1
16
+
y
2
1
12
=1，
x
2
2
16
+
y
2
2
12
=1，
兩式相減可得：
(x1-x2)(x1+x2)
16
+
(y1-y2)(y1+y2)
12
=0，
∵
y1-y2
x1-x2
=k，x1+x2=4m，y1+y2=6m，
代入上式可得：
4m
16
+
6mk
12
=0，
∵m≠0，解得k=-
1
2
．
（3）設(shè)直線AB的方程為：y=-
1
2
x+t，聯(lián)立
y=-
1
2
x+t
x2
16
+
y2
12
=1
，
化為x2-tx+t2-12=0，由△＞0，解得-4＜t＜4．
∴x1+x2=t，x1x2=t2-12．
∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
[1+(-
1
2
)2][(x1+x2)2-4x1x2]

=
5
2
t2-4(t2-12)

=
15
2
•
16-t2
．
點(diǎn)P到直線AB的距離d=
|8-2t|
5
，
∴S△PAB=
1
2
|AB|•d=
1
2
•
|8-2t|
5
•
15
2
•
16-t2
=
3
2
-t4+8t3-128t+256
．
設(shè)f（t）=-t4+8t3-128t+256（-4＜t＜4），
則f′（t）=-4t3+24t2-128=-4（t+2）（t-4）2，
令f′（t）＜0，解得-2＜t＜4，此時函數(shù)f（t）單調(diào)遞減；
令f′（t）＞0，解得-4＜t＜-2，此時函數(shù)f（t）單調(diào)遞增．
∴f（t）的極大值為f（-2）=432，可得S的最大值為18．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
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已知2和-2是函數(shù)f（x）=
1
3
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1
2
bn=1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；   
（2）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（3）記cn=
an+2
4
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在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，△ABC的面積是30，cosA=
12
13
．
（1）求
AB
•
AC
；        
（2）若c-b=1，求a的值．

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2
2x+1
．
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（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）在（2）的條件下求f（x）的值域．

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某物流公司擬建造如圖所示的有底容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的下端為圓柱形，上端頂蓋為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為
112π
3
立方米，且h≥4r．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與表面積有關(guān)．已知圓柱形部分與底部每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為
15
2
千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元．
（1）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該容器的建造費(fèi)用最小時的r．（注：球體積V=
4
3
πr3；球表面積S=4πr2）

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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PB上，且∠CAD=30°，PA=AB=4．
（Ⅰ）當(dāng)MN∥平面PDC時，求
PN
NB
的值；
（Ⅱ）當(dāng)N為PB的中點(diǎn)時，求二面角N-AC-P的余弦值．

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設(shè)f（x）為R上的增函數(shù)，令F（x）=f（x）-f（2013-x）
（1）證明F（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若F（x1）+F（x2）＞0，證明x1+x2＞2013．

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