Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=18；數(shù)列{b_n}的前n項和是T_n，且T_n+

1

2

b_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；   
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）記c_n=

an+2

4

•b_n，求{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知求出等差數(shù)列的公差，代入等差數(shù)列的通項公式得答案；
（2）由已知遞推式變形，得到即bn=

1

3

bn-1，從而說明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）把數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式代入c_n=

an+2

4

•b_n，然后利用錯位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則d=

a5-a2

5-2

=

18-6

5-2

=4．
∴a_n=a₂+4（n-2）=6+4n-8=4n-2；
（2）由T_n+

1

2

b_n=1  ①，
得b1+

1

2

b1=1，b1=

2

3

．
Tn-1+

1

2

bn-1=1  ②，
①-②得：bn+

1

2

bn-

1

2

bn-1=0，
即bn=

1

3

bn-1．
∴數(shù)列{b_n}是以

2

3

為首項，以

1

3

為公比的等比數(shù)列；
（3）由（2）得，bn=2•(

1

3

)n．
∴c_n=

an+2

4

•b_n=

4n-2+2

4

•2•(

1

3

)n=2n•(

1

3

)n．
則Sn=2[1•

1

3

+2•(

1

3

)2+3•(

1

3

)3+…+n•(

1

3

)n]．
令Rn=1•

1

3

+2•(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n．

1

3

Rn=1•(

1

3

)2+2•(

1

3

)3+…+n•(

1

3

)n+1．
兩式作差得：

2

3

Rn=

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-n•(

1

3

)n+1
=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-n•(

1

3

)n+1．
∴Sn=

3

2

-(n+

3

2

)•

1

3n

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．