Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-1
（1）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求α的取值范圍；
（2）當(dāng)α＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≤0．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，可得其導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值g（a）=a-alna-1，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（a）的最大值得答案；

解答 （1）解：由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a，
∵函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=e^x-a≥0對(duì)任意x∈R恒成立，即a≤e^x恒成立，
∵e^x＞0，∴a≤0，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]；
（2）證明：a＞0，由f′（x）=e^x-a＜0，得x＜lna，
由f′（x）=e^x-a＞0，得x＞lna，
∴當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）_min=f（lna）=elna-alna-1=a-alna-1，
即g（a）=a-alna-1，
則g′（a）=-lna．
由-lna=0，得a=1，
∴g（a）≤g（1）=0，
∴g（a）≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，考查不等式恒成立時(shí)所取的條件，是一道中檔題．