Question

20．在直角坐標系xOy中，點P到兩點（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）的距離之和等于4．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設(shè)點P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于A，B兩點，若$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出P的坐標，由題意可知點P的軌跡C是以（0，-$\sqrt{3}$）、（0，$\sqrt{3}$）為焦點，長半軸為2的橢圓，由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B的橫坐標的和與積，結(jié)合$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，利用數(shù)量積為0求得k值．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），∵4$＞2\sqrt{3}$，
∴由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，-$\sqrt{3}$）、（0，$\sqrt{3}$）為焦點，長半軸為2的橢圓，
它的短半軸b=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=1$，
故曲線C的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理，得（k²+4）x²+2kx-3=0．
其中△=4k²+12（k²+4）＞0恒成立．
故x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{3}{{k}^{2}+4}$．
若$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，則x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=$（1+{k}^{2}）•（-\frac{3}{{k}^{2}+4}）+k•（\frac{-2k}{{k}^{2}+4}）+1$=0，
化簡得-4k²+1=0，解得k=±$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．