Question

4．已知向量$|{\vec a}|$=1，$|{\vec b}|$=1，$\vec a$與$\vec b$的夾角為60°，設(shè)向量$\vec c$=2$\vec a$-$\vec b$，$\vec d$=$\vec a$-2$\vec b$，求：
（Ⅰ）向量$\vec c$和$\vec d$的模；
（Ⅱ）向量$\vec c$和向量$\vec d$的夾角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$|{\vec a}|$=1，$|{\vec b}|$=1，$\vec a$與$\vec b$的夾角為60°，再根據(jù)向量模的性質(zhì)即可求出向量$\vec c$和$\vec d$的模；
（Ⅱ）設(shè)向量$\vec c$和向量$\vec d$的夾角為θ，再求出$\overline{c}•\overlineebtnepz$的值，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrowlbvpcdy}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrowyzqwneu|}$，代值計(jì)算即可求出向量$\vec c$和向量$\vec d$的夾角．

解答 解：（Ⅰ）∵$|{\vec a}|$=1，$|{\vec b}|$=1，$\vec a$與$\vec b$的夾角為60°，
∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}}$=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}-b）^{2}}=\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}-4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos60°+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{4-4×1×1×\frac{1}{2}+1}=\sqrt{3}$；
$|\overrightarrowpuqalrj|=\sqrt{{\overrightarrowfoubbin}^{2}}$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overline{a}}^{2}-4|\overline{a}||\overline|cos60°+4{\overline}^{2}}$=$\sqrt{1-4×1×1×\frac{1}{2}+4×1}=\sqrt{3}$；
（Ⅱ）設(shè)向量$\vec c$和向量$\vec d$的夾角為θ，
∵$\overline{c}•\overlinedhiqiia$=$（2\overline{a}-\overline）•（\overline{a}-2\overline）$=$2{\overline{a}}^{2}-5|\overline{a}||\overline|cos60°+2{\overline}^{2}$=$2-5×\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrowfkufidp}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrownhvxauf|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$．
∴$\vec c$和向量$\vec d$的夾角為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了向量的模的求法以及求兩個(gè)向量的夾角，兩個(gè)向量數(shù)量積的定義，屬于中檔題．