數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，at=t，點（Sn，an+1）在直線y=2x+1上，n∈N*．
（Ⅰ）當實數(shù)t為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，設bn=log3an+1，Tn是數(shù)列的前n項和，求T2011的值．
【答案】分析：（I）可通過題設中的條件進行轉(zhuǎn)化，變?yōu)榭梢岳玫缺葦?shù)列的定義建立方程求參數(shù)t的形式，
（II）求解本題需先研究bn的通項公式，由于，故可以采取裂項求和的方式求T2011的值．
解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意得an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2）（1分）
兩式相減得an+1-an=2an，即an+1=3an，（4分）
所以當n≥2時，{an}是等比數(shù)列，
要使n≥1時，{an}是等比數(shù)列，則只需==3，從而t=1．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知an=3n-1，bn=log3an+1=n，（9分）
∴（10分）
=（12分）
點評：本題考點是等差數(shù)列的性質(zhì)，考查利用等比數(shù)列的定義建立方程求參數(shù)的值以及根據(jù)數(shù)列的通項公式選擇數(shù)列求和的方法，本題求和選擇了裂項求和的技巧，做完本題要記得探究一下裂項求和這一技巧適用的范圍，你能根據(jù)本題總結(jié)出來這一規(guī)律嗎？
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設等比數(shù)列{an}的公比q≠1，Sn表示數(shù)列{an}的前n項的和，Tn表示數(shù)列{an}的前n項的乘積，Tn（k）表示{an}的前n項中除去第k項后剩余的n-1項的乘積，即Tn（k）=
Tn
ak
（n，k∈N+，k≤n），則數(shù)列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n項的和是
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
（用a1和q表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}的通項an=
1
pn-q
，實數(shù)p，q滿足p＞q＞0且p＞1，sn為數(shù)列{an}的前n項和．
（1）求證：當n≥2時，pan＜an-1；
（2）求證sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)；
（3）若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
，求證sn＜
2
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，an＞0，Sn=
a
2
n
+an
2
，n∈N*，
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2an+bn，求數(shù)列{bn}的通項公式bn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•商丘二模）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下運算和結(jié)論：
①a24=
3
8
；
②數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比數(shù)列；
③數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n項和為Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整數(shù)k，使Sk＜10，Sk+1≥10，則ak=
5
7
．
其中正確的結(jié)論是
①③④
①③④
．（將你認為正確的結(jié)論序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題：
①若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=
6
，b=4，那么滿足條件的△ABC有兩解；
③設函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a2+b2=0；
④設直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中真命題的序號是
③
③
．

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