Question

10．（理科）設(shè)函數(shù)f（x）=x（e^x-1）-ax²（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若a=$\frac{1}{2}$，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，0）無(wú)極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)n∈N^*，x＞0，求證：e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$．注：n！=n×（n-1）×…×2×1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，化簡(jiǎn)f（x）=x（e^x-1）-$\frac{1}{2}$x²，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出g（x）=e^x+h（x）＜1，得到2a≤1；且g（x）=e^x+h（x）＞2，從而求出a的值即可；
（Ⅲ）利用數(shù)列歸納法證明，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$，從而令m（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$+$\frac{{x}^{k+1}}{（k+1）!}$），顯然m（0）=0，m′（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$）＞0，從而證明．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=x（e^x-1）-$\frac{1}{2}$x²，
f′（x）=（e^x-1）+xe^x-x=（e^x-1）（x+1），
則當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，0）無(wú)極值，則f（x）在（-1，0）單調(diào)，
又f′（x）=（x+1）e^x-2ax-1，
①若f（x）在（-1，0）單調(diào)遞減，則f′（x）≤0在（-1，0）恒成立，
于是2a≤$\frac{（x+1{）e}^{x}-1}{x}$=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
令g（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
下面證明h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，令r（x）=（x-1）e^x+1，則r′（x）=xe^x，
x＜0時(shí)，r′（x）＜0，r（x）遞減，r（x）＞r（0）=0，
h′（x）＞0，h（x）在（-∞，0）遞增；
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，由g（x）=e^x+h（x）是增函數(shù)，從而g（x）＞g（-1）=1，
于是2a≤g（x），得2a≤1，a≤$\frac{1}{2}$；
②若f（x）在（-1，0）單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在（-1，0）恒成立，
于是2a≥g（x），當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，由e^x＞1+x，得h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜1，
g（x）=e^x+h（x）＜2，從而2a≥2，a≥1；
綜上，a∈（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）時(shí)，f（x）在（-1，0）內(nèi)無(wú)極值；
（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，令h（x）=e^x-x-1，
h′（x）=e^x-1＞0，h（0）=0；
故h（x）＞h（0）=0，
故e^x＞x+1；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，令m（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$+$\frac{{x}^{k+1}}{（k+1）!}$），
顯然m（0）=0，m′（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$）＞0，
故m（x）＞m（0）=0，
即e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$+$\frac{{x}^{k+1}}{（k+1）!}$成立，
綜上所述，e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想，屬于難題．