Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（a-1）x-lnx（a∈R且a≠0）．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）記函數(shù)y=F（x）的圖象為曲線C．設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點(diǎn)．如果在曲線C上存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得：①x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$；②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)F（x）存在“中值和諧切線”．當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）是否存在“中值和諧切線”，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域，再根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應(yīng)的x的范圍即分別為函數(shù)的遞增和遞減區(qū)間；
（II）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”，根據(jù)斜率公式求出直線AB的斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
由已知得，f′（x）=$\frac{a（x-1）（x+\frac{1}{a}）}{x}$，
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得x＞1； 令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．
所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，
①當(dāng)-$\frac{1}{a}$＜1時(shí)，即a＜-1時(shí)，令f′（x）＞0，解得：-$\frac{1}{a}$＜x＜1；
∴函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{a}$，1）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)-$\frac{1}{a}$=1時(shí)，即a=-1時(shí)，顯然，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，無增區(qū)間； 
③當(dāng)-$\frac{1}{a}$＞1時(shí)，即-1＜a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得1＜x＜-$\frac{1}{a}$
∴函數(shù)f（x）在（1，-$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增；
綜上所述，（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{a}$，1）上單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）無單調(diào)遞增區(qū)間；
（4）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，-$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)f（x）存在“中值相依切線”．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線y=f（x）上的不同兩點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂，
則y₁=${{x}_{1}}^{2}$-x₁-lnx₁，y₂=${{x}_{2}}^{2}$-x₂-lnx₂．
k_AB=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=x₂+x₁-1-$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$，
曲線在點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線斜率：
k=f′（x₀）=f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=x₁+x₂-1-$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，
x₂+x₁-1-$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=x₁+x₂-1-$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，
∴$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，即ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$=0，
令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1
設(shè)h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$，則h′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
∴h（t）在（0，+∞）遞增，
∴h（t）＞h（1）=0，
故h（t）=0在（0，+∞）無解，假設(shè)不成立，
綜上所述，假設(shè)不成立，
所以，函數(shù)f（x）不存在“中值相依切線”．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)求值，掌握反證法進(jìn)行命題證明的方法，是一道綜合題，屬難題．