Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和為S_n，滿足3S_n=1-a_n，且b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*），數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若c_n≤

1

4

（3t²+5t-1）對(duì)一切n∈N^*恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）首先利用遞推關(guān)系式求出

an

an-1

=

1

4

，然后根據(jù)已知條件利用定義法證明數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論進(jìn)一步利用乘公比錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（3）進(jìn)一步利用恒成立問題求參數(shù)的取值范圍，其中要求出數(shù)列{c_n}的最大項(xiàng)．最后確定參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意知：Sn=

1

3

-

1

3

an(n∈N+)，
因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

1

3

an-1-

1

3

an，
所以4a_n=a_n-1，所以

an

an-1

=

1

4

（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，S1=

1

3

-

1

3

a1=a₁，
所以a1=

1

4

，
所以{a_n}是以

1

4

為首項(xiàng)是以

1

4

為公比的等比數(shù)列，
所以an=(

1

4

)n(n∈N+)，
因?yàn)閎_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*），所以b_n=3n-2，
所以b_n-1=3n-5，
b_n-b_n-1=3（n≥2），所以{b_n}是等差數(shù)列．
（2）由（1）知c_n=a_n•b_n=(3n-2)•(

1

4

)n
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+…+(3n-2)(

1

4

)n①
所以：

1

4

Tn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3 +…+(3n-2)(

1

4

)n+1②
①-②得

3

4

Tn=1×

1

4

+3×(

1

4

)2+…+3×(

1

4

)n-(3n-2)×(

1

4

)n+1
=

1

4

+3×

( 1 4 )2[1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

-(3n-2)×(

1

4

)n+1，
整理后得到：Tn=

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n．
（3）若c_n≤

1

4

（3t²+5t-1）對(duì)一切n∈N^*恒成立，
只需(cn)max≤

1

4

(3t2+5t-1)，
又cn+1-cn=

3n+1

4n+1

-

3n-2

4n

=

9-9n

4n+1

≤0，
c₁=c₂＞c₃＞c₄＞…
所以最大值為c1=c2=

1

4

．
所以：

1

4

≤

1

4

(3t2+5t-1)
即3t²+5t-2≥0
解得：t≤-2或t≥

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用定義法證明數(shù)列是等差數(shù)列，遞推關(guān)系式的應(yīng)用，乘公比錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，利用恒成立問題求參數(shù)的取值范圍．