Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax+b在x=-1處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求a的值和函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（Ⅱ）若方程f(x)=

3

2

x2-15x+3恰有三個不同的解，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得f′（-1）=0，得到a，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的步驟求單調區(qū)間；
（2）把給定方程做適當?shù)牡葍r變換，得到g（x）的圖象與x軸有3個交點；求出單調區(qū)間，求出函數(shù)的極值，依題意極大值大于0，極小值小于0，進而解出b的取值范圍．

解答：解：（1）由已知得f′（x）=3x²-6x+a，
∵在x=-1處的切線與x軸平行
∴f′（-1）=0，解得a=-9．
這時f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜-1；
由f′（x）＜0，解-1＜x＜3．
∴f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1）∪（3，+∞）；單調減區(qū)間為（-1，3）．
（2）令g（x）=f（x）-（

3

2

x²-15x+3）=x³-

9

2

x²+6x+b-3
則原題意等價于g（x）圖象與x軸有三個交點
∵g′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2）
∴由g′（x）＞0，解得x＞2或x＜1；
由g′（x）＜0，解得1＜x＜2．
∴g（x）在x=1時取得極大值g（1）=b-

1

2

；g（x）在x=2時取得極小值g（2）=b-1．
依題意得

b- 1 2 ＞0 b-1＜0

，解得

1

2

＜b＜1．
故b的取值范圍為（

1

2

，1）

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，應熟練掌握利用可導函數(shù)研究函數(shù)的單調性的步驟．