Question

14．已知sin（3π+α）=lg$\frac{1}{\root{3}{10}}$，求$\frac{cos（π+α）}{cosα[cos（π-α）-1]}$+$\frac{cos（α-2π）}{cosαcos（π-α）+cos（-α）}$的值．

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)已知：利用誘導(dǎo)公式sin（π+α）=-sinα化簡(jiǎn)等式左邊，然后利用對(duì)數(shù)定義lg$\frac{1}{\root{3}{10}}$=lg10${\;}^{-\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{3}$得到sinα的值；再化簡(jiǎn)原式：利用cos（π+α）=-cosα，cos（π-α）=cosα，cos（2π-α）=cosα及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，將sinα的值代入即可求出．

解答 解：∵由于sin（3π+α）=-sinα，lg$\frac{1}{\root{3}{10}}$=lg10${\;}^{-\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{3}$，得sinα=$\frac{1}{3}$，
∴原式=$\frac{-cosα}{cosα（-cosα-1）}$+$\frac{cosα}{-co{s}^{2}α+cosα}$=$\frac{1}{1+cosα}$+$\frac{1}{1-cosα}$=$\frac{2}{sin2α}$=18．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，會(huì)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求對(duì)數(shù)的值，靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題．