Question

9．已知2log²${\;}_{\frac{1}{2}}$x+5log${\;}_{\frac{1}{2}}$x一3＜0，求函數(shù)f（x）=（log₂$\frac{x}{8}$））•（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{4}{x}$）的值域．

Answer 1

分析 解不等式2log²${\;}_{\frac{1}{2}}$x+5log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-3＜0，求出8＞x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），求出f（x）對(duì)應(yīng)的取值范圍即可．

解答 解：不等式2log²${\;}_{\frac{1}{2}}$x+5log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-3＜0可化為（${log}_{\frac{1}{2}}$x+3）（2${log}_{\frac{1}{2}}$x-1）＜0，
解得-3＜${log}_{\frac{1}{2}}$x＜$\frac{1}{2}$，
即8＞x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴-$\frac{1}{2}$＜log₂x＜3，
∴函數(shù)f（x）=（log₂$\frac{x}{8}$））•（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{4}{x}$）
=（log₂x-3）（log₂x-2）
=${{log}_{2}}^{2}$x-5log₂x+6
=$（{log}_{2}x-\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$；
令log₂x=$\frac{5}{2}$，得x=${2}^{\frac{5}{2}}$，∴f（x）≥f（${2}^{\frac{5}{2}}$）=-$\frac{1}{4}$；
令log₂x=-$\frac{1}{2}$，得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴f（x）＜f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{35}{4}$；
∴f（x）的值域是[-$\frac{1}{4}$，$\frac{35}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．