數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=（n∈N*）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
【答案】分析：（Ⅰ）把已知等式的右邊的2n+1比到左邊，然后等式兩邊取倒數(shù)，展開后就得到要證的結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中的結(jié)論寫出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，則an可求；
（Ⅲ）把a(bǔ)n的通項(xiàng)代入后進(jìn)行列項(xiàng)，運(yùn)用列項(xiàng)相消即可求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
解答：解：（Ⅰ）由已知可知，即，即
∴數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
∴
∴Sn=b1+b2+…+bn=+…+=…=．
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的遞推式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，訓(xùn)練了由遞推式構(gòu)造性數(shù)列的方法，考查了裂項(xiàng)相消法對數(shù)列進(jìn)行求和，是�？碱}型．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)b＞0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=
nban-1an-1+n-1
（n≥2）
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（4）證明：對于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=
an-1an-2
(n≥3)，則a17等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知數(shù)列{an}極限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（將A用a表示）；
（II）設(shè)bn=an-A，n=1，2，…，證明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
對n=1，2，…都成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=1，an=
12
an-1+1(n≥2)
（1）若bn=an-2，求證{bn}為等比數(shù)列；    
（2）求{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=
4
3
，an+1=an2-an+1（n∈N*），則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數(shù)部分是（　�。�

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